2.1 数值数据的表示

本节主要介绍计算机中数值数据的基本表示方法，核心在于理解不同进制及其转换，以及带符号数的编码方式（原码、补码、反码）。

基础逻辑与核心概念

1. 进位计数制

• 基本概念：

  • 基数 (Radix)：每个数位上可能出现的不同数码的个数。例如，二进制的基数是2，十进制是10。
  • 位权 (Weight)：数码在不同位置上所代表的数值大小。一个以 r 为基数的数可以表示为： $N=\sum _{i=-m}^{n-1}{K}_i\times r^i$ 其中 $K_i$ 是第 $i$ 位的数码。

• 常见进制：

  • 二进制 (Binary)：基数为2，数码为 0, 1。后缀 B。
  • 八进制 (Octal)：基数为8，数码为 0-7。后缀 Q。
  • 十进制 (Decimal)：基数为10，数码为 0-9。后缀 D (可省略)。
  • 十六进制 (Hexadecimal)：基数为16，数码为 0-9, A-F。后缀 H。

2. 进制转换（易考点）

• 任意进制转十进制：使用按权展开法。

  • 示例: $(101.1{)}_2=1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+1\times 2^{-1}=4+0+1+0.5=(5.5{)}_{10}$

• 十进制转任意进制：

  • 整数部分：除基取余法，余数倒序排列。
  • 小数部分：乘基取整法，整数顺序排列。

• 二进制与八、十六进制的快速转换 (非常重要！)：

  • 二进制转八进制：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每3位一组，不足补0，然后将每组转换为对应的八进制数。
    • 示例：$(11011.1011{)}_2\to (011011.101100{)}_2\to (33.54{)}_8$
  • 二进制转十六进制：方法同上，但每4位一组。
    • 示例：$(11011.1011{)}_2\to (00011011.1011{)}_2\to (1B.B{)}_{16}$

3. 无符号数与带符号数

• 无符号数：所有二进制位都用来表示数值，没有符号位。
• 带符号数：最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数。
  • 真值：带正负号的实际数值。
  • 机器数：在计算机中编码后的二进制表示。

4. 原码、反码、补码 (核心难点与高频考点)

假设机器字长为 $n+1$ 位（1位符号位，n位数值位）。

• 原码 [X]_原：

  • 定义：符号位加上真值的绝对值的二进制。
  • 正数：符号位为0，数值位不变。$[+0.1011{]}_{\mathrm{原}}=0.1011000$
  • 负数：符号位为1，数值位不变。$[-0.1011{]}_{\mathrm{原}}=1.1011000$
  • 特点：
    • 直观，易于理解。
    • 0的表示不唯一：[+0]_原 和 [-0]_原。
    • 加减运算规则复杂。

• 反码 [X]_反：

  • 定义：
    • 正数的反码与其原码相同。
    • 负数的反码是其原码除符号位外，各位取反。
  • 示例：$X=-0.1011$, $[X{]}_{\mathrm{原}}=1.1011000$, $[X{]}_{\mathrm{反}}=1.0100111$
  • 特点：
    • 解决了负数加法问题，但仍存在 +0 和 -0。

• 补码 [X]_补：

  • 定义：
    • 正数的补码与其原码相同。
    • 负数的补码是其反码在最低位加1。
  • 从真值求补码（负数）：除符号位外，各位取反，末位加1。
  • 从原码求补码（负数）：除符号位外，各位取反，末位加1。
  • 快速求法（负数）：从真值二进制的最低位向左，找到第一个1，这个1及其右边的位保持不变，左边的所有位（不含符号位）取反。
  • 示例：$X=-0.1011$, $[X{]}_{\mathrm{补}}=1.0101000$
  • 特点 (非常重要！)：
    • 0的表示唯一：[+0]_补 = [-0]_补 = 0.000...
    • 加减法统一：减法可以转换为加法来处理，$\text{[}A-B{\text{]}}_{\mathrm{补}}=\text{[}A{\text{]}}_{\mathrm{补}}+\text{[}-B{\text{]}}_{\mathrm{补}}$。这是计算机采用补码的主要原因。
    • 表示范围：对于n位整数，补码比原码和反码能多表示一个负数。例如8位整数，原码范围是 [-127, 127]，补码是 [-128, 127]。

5. 三种机器数的比较

特性	原码	反码	补码
正数	符号位为0，数值位为真值	与原码相同	与原码相同
负数	符号位为1，数值位为真值绝对值	符号位为1，数值位按位取反	符号位为1，数值位取反加1
零的表示	两种 (+0, -0)	两种 (+0, -0)	唯一
运算	加减法规则复杂	加法规则统一，但有循环进位	加减法规则完全统一
表示范围 (8位整数)	-127 ~ +127	-127 ~ +127	-128 ~ +127

难点提示：

• 初学者很容易混淆 [-B]_补 和 [[B]_补]_变补 的区别。[-B]_补 是求B的相反数的补码。[[B]_补]_变补 是对B的补码这个机器数本身，连同符号位在内，全部按位取反，末位加1。
• 习题中经常考察 -128 (8位) 或 -1 (定点小数) 的补码表示，需要特别注意。