2.2 机器数的定点与浮点表示

本节是第二章的绝对重点，核心在于理解定点数和浮点数的表示方法、范围、精度，特别是IEEE 754浮点数标准，是考试的重中之重。

易考点：定点数的表示范围是常考题型，特别是补码的非对称范围。

目的：在有限的位数内，扩大数的表示范围。
格式：一个浮点数 $N$ 可以表示为： $N = M \times r^{E}$
- $M$ (Mantissa)：尾数，决定了数的精度。通常是定点小数。
- $E$ (Exponent)：阶码，决定了数的范围。通常是定点整数。
- $r$ (Radix)：基数，通常是2，并且是隐含的。

目的：为了保证浮点数表示的唯一性，并尽可能保留有效位数，提高精度。
规则：调整阶码的大小，使尾数的绝对值保持在特定范围内。
- 基数为2时：
  - 原码：要求尾数最高数值位为1，即 $\frac{1}{2} \leq | M | < 1$ 。
  - 补码：
    - 正数：尾数形式为 0.1xxxx...
    - 负数：尾数形式为 1.0xxxx...
    - 统一规则：符号位与最高数值位不同。
操作：
- 左规 (Left Shift)：当尾数绝对值小于 $\frac{1}{2}$ 时，尾数左移一位，阶码减1，直到规格化。
- 右规 (Right Shift)：当尾数运算发生溢出时（如 01.xxxx 或 10.xxxx），尾数右移一位，阶码加1。

目的：便于浮点数的大小比较和对阶操作。
定义：将真值加上一个固定的偏置值 (bias)。 $[E]_{移} = E + bias$ 通常，如果阶码有 $k$ 位，偏置值取 $2^{k - 1}$ 。
特点：
- 移码的最高位表示符号，1为正，0为负，与原码、补码相反。
- 移码的大小直接反映了真值的大小，可以直接按无符号数规则比较大小。
- 移码和补码的关系：符号位相反，其余位相同。

这是现代计算机通用的浮点数标准，必须熟练掌握。

格式： $V = (- 1)^{S} \times M \times 2^{E}$
- S (Sign)：符号位，1位。
- E (Exponent)：阶码，用移码表示，但偏置值与标准移码不同。
- M (Mantissa)：尾数，用原码表示，且使用隐藏位技术。
两种常见格式：
- 短浮点数 (Single-precision, 32位)：
  - 1位符号位 (S)
  - 8位阶码 (E)：偏置值为 127。阶码真值 = E - 127。
  - 23位尾数 (M)
  - 真值表示： $V = (- 1)^{S} \times (1. M) \times 2^{E - 127}$ (注意隐藏的整数1)
- 长浮点数 (Double-precision, 64位)：
  - 1位符号位 (S)
  - 11位阶码 (E)：偏置值为 1023。阶码真值 = E - 1023。
  - 52位尾数 (M)
转换步骤 (十进制转IEEE 754)：
1. 将十进制数转为二进制。
2. 移动小数点，进行规格化，形式为 $\pm 1. x x x x . . . \times 2^{e}$ 。
3. 确定S：正数为0，负数为1。
4. 计算阶码E： $E = e + bias$ (短浮点bias=127，长浮点bias=1023)。
5. 获取尾数M：取规格化后二进制小数部分，不足位在末尾补0。
特殊值：
- 阶码 E 全为 0：
  - 尾数 M 全为 0：表示 $\pm 0$ 。
  - 尾数 M 不为 0：表示非规格化数。
- 阶码 E 全为 1：
  - 尾数 M 全为 0：表示 $\pm \infty$ (无穷大)。
  - 尾数 M 不为 0：表示 NaN (Not a Number)。

难点与考点：
习题通常要求进行十进制与IEEE 754格式之间的相互转换。
要特别注意隐藏位 1 的存在，以及阶码的偏置值不是 $2^{k - 1}$ 而是 $2^{k - 1} - 1$ 。
对特殊值的判断和表示也是考查点。

2.2 机器数的定点与浮点表示 ​