4.3 定点加减运算

本节是运算器的核心内容,重点讨论计算机如何使用补码来实现统一的加减运算,以及如何判断运算结果是否溢出。

核心概念

1. 原码加减运算

• 特点:符号位和数值位分开处理,规则复杂。
• 流程:先判断符号,同号相加,异号相减;减法还要判断绝对值大小以确定结果符号。
• 缺点:硬件实现复杂,需要加法器和减法器,不被现代计算机普遍采用。

Details

好的，这是对您提供的关于原码加减运算那段文字的总结和示例。

总结

这段文字的核心思想是，计算机在处理原码 (sign-magnitude) 表示的数字时，其加减法运算过程比较复杂，因为它需要将符号和**数值（绝对值）**分开处理。

主要的关键点如下：

1. 运算的复杂性：实际执行的是加法还是减法，不仅取决于指令本身，还和两个操作数的符号有关。例如，两个不同符号的数相加，实际上是对它们的绝对值做减法。
2. 硬件简化：为了简化硬件设计，计算机内部通常只设置加法器。所有的减法运算都会通过“求补”的方式转换为加法运算来完成。
3. 原码运算规则：
   • 分离处理：符号位不直接参与数值运算，运算只针对数的绝对值部分。
   • 减法变加法：当执行减法 |X| - |Y| 时，操作被转换为 |X| 加上 |Y| 的“变补”（通常指对数值部分求2's补码）。这个操作称为前变补。
   • 结果判断：通过检查数值部分最高位的进位来判断结果：
     • 有进位：表示运算结果是正确的正数。
     • 无进位：表示运算结果是一个负数，且当前得到的是其补码形式，需要再次进行“变补”（后变补）才能得到正确的绝对值。
   • 确定符号：最后，根据原始操作数和运算类型，独立地判断出结果的正确符号，并与计算出的绝对值组合成最终答案。

总而言之，原码的加减法流程是：判断操作 -> 拆分出绝对值 -> 执行加法或变补加法 -> 根据进位判断是否需要二次变补 -> 单独确定符号位 -> 组合结果。这个过程相比补码运算要繁琐得多。

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举例说明

我们用一个具体的例子来演示这个流程。假设机器的数值部分为4位。

示例：计算 (+5) - (+3)

• 原码表示:
  • X = +5 -> 0 0101
  • Y = +3 -> 0 0011

运算步骤：

1. 取绝对值：

   • |X| = 0101
   • |Y| = 0011

2. 判断操作：

   • 指令是减法，因此需要将减数|Y|进行前变补（这里指求2's补码），然后与被减数|X|相加。
   • |Y|的变补：1101
   • 执行加法：0101 + 1101

3. 运算并判断进位：

     0101  (|X|)
   + 1101  (|Y|的变补)
   -------
   1 0010

   • 运算结果为 0010，并且最高位产生了进位 1。
   • 根据规则“有进位，结果为正，即得到正确的结果”，所以数值部分就是 0010，并且不需要“后变补”。

4. 结果加符号位：

   • 因为是 5 - 3，结果应为正。所以符号位是 0。
   • 最终结果：0 0010，即 +2。

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反例：计算 (+3) - (+5)

1. 取绝对值：

   • |X| = 0011
   • |Y| = 0101

2. 判断操作：

   • 同样是减法，对 |Y| 进行前变补，然后与 |X| 相加。
   • |Y| 的变补：1011
   • 执行加法：0011 + 1011

3. 运算并判断进位：

     0011  (|X|)
   + 1011  (|Y|的变补)
   -------
   0 1110

   • 运算结果为 1110，并且最高位无进位 0。
   • 根据规则“无进位，结果为负，则应再变一次补”，我们需要对 1110 进行后变补。
   • 1110 的变补（求2's补码）是 0010。这才是正确的绝对值结果。

4. 结果加符号位：

   • 因为是 3 - 5，结果应为负。所以符号位是 1。
   • 最终结果：1 0010，即 -2。

2. 补码加减运算

• 核心思想:将减法转换为加法,统一使用加法器完成运算。符号位与数值位一同参与运算。
• 补码加法公式:$[X+Y{]}_{\mathrm{补}}=[X{]}_{\mathrm{补}}+[Y{]}_{\mathrm{补}}(\mathrm{mod}{2}^{n+1})$
• 补码减法公式:$[X-Y{]}_{\mathrm{补}}=[X{]}_{\mathrm{补}}+[-Y{]}_{\mathrm{补}}(\mathrm{mod}{2}^{n+1})$
  • 求 $[-Y{]}_{\mathrm{补}}$:由 $[Y{]}_{\mathrm{补}}$ 连同符号位在内,各位取反,末位加1。

我们应将“某数的补码表示”与“变补”这两个概念区分开来。一个负数由原码表示转换成补码表示时，符号位是不变的，仅对数值位各位变反，末位加“1”。而变补则不论这个数的真值是正还是负，一律连同符号位一起变反（所有的二进制位一起变反），末位加“1”。$[Y{]}_{\mathrm{补}}$表示的真值如果是正数，则变补后 $[-Y{]}_{\mathrm{补}}$所表示的真值变为负数，反之亦然。

3. 溢出判断 (Overflow Detection)

• 溢出:运算结果超出了机器数所能表示的范围。
• 发生条件:只有在两个符号相同的数相加时才可能发生溢出(正正得负为正溢,负负得正为负溢)。两数异号相加,结果范围介于两数之间,绝不会溢出。

溢出判断方法

方法1: 单符号位法

设操作数符号为 $X_s,Y_s$,结果符号为 $S_s$。

• 溢出公式:$V=X_s{Y}_s\overline{S_s}+\overline{X_s}\overline{Y_s}{S}_s$
• 逻辑:当且仅当操作数符号相同而结果符号与它们不同时,发生溢出。

方法2: 双符号位法 (变形补码)

采用两位符号位 $S_{s1}{S}_{s2}$。

• 00:正数
• 11:负数
• 01:正溢出
• 10:负溢出
• 溢出公式:$V=S_{s1}\oplus S_{s2}$
• 逻辑:当两个符号位不同时,表示溢出。这是硬件中最常用的判断方法。

方法3: 进位判断法

设符号位的进位为 $C_s$,最高数值位的进位为 $C_1$。

• 溢出公式:$V=C_s\oplus C_1$
• 逻辑:当符号位的进位与最高数值位的进位不同时,表示溢出。

易考点与难点

易考点:

• 补码加减法的基本运算规则,特别是如何求 $[-Y{]}_{\mathrm{补}}$。
• 符号扩展:将一个短位数的补码扩展为长位数时,正数补0,负数补1(即用符号位填充)。

难点:溢出判断是本章的重中之重,也是考试的绝对热点和难点。必须熟练掌握上述三种溢出判断方法,并能灵活运用。特别是双符号位法和进位判断法,需要通过大量练习来理解其原理。