4.4 定点乘除运算

本节介绍定点数乘法和除法的硬件实现方法,重点是原码一位乘法和补码一位乘法(布斯算法)。

核心概念

1. 原码一位乘法

• 思想:模拟手算乘法,但通过"加法-移位"实现。
• 规则:
  1. 符号位单独处理,结果符号为 $P_s=X_s\oplus Y_s$。
  2. 数值部分进行运算。设置累加器A(初值为0)、乘数寄存器C、被乘数寄存器B。
  3. 循环n次(n为数值位数):
     • 判断乘数C的最低位:
       • 若为1,则 A = A + |B|。
       • 若为0,则 A = A + 0。
     • 将A和C作为一个整体逻辑右移一位。
• 结果:乘积的高位在A中,低位在C中。

2. 补码一位乘法 (布斯算法 - Booth's Algorithm)

• 思想:直接对补码进行运算,无需转换,符号位也参与运算。
• 规则:
  1. 被乘数 $[X{]}_{\mathrm{补}}$ 和部分积(累加器A)采用双符号位。
  2. 在乘数 $[Y{]}_{\mathrm{补}}$ 的最低位后增加一位辅助位 $Y_{n+1}$,初值为0。
  3. 循环n+1次:
     • 根据乘数寄存器最低两位 $Y_n{Y}_{n+1}$ 的值进行操作:
       • 01:A = A + $[X{]}_{\mathrm{补}}$
       • 10:A = A + $[-X{]}_{\mathrm{补}}$
       • 00 或 11:A = A + 0
     • 将A和Y作为一个整体进行算术右移一位。
• 注意:最后一步不移位。结果在A和Y中(不包括 $Y_{n+1}$)。

3. 原码除法 (加减交替法 / 不恢复余数法)

• 思想:模拟手算除法,通过比较被除数(或部分余数)和除数的大小来决定商上1还是上0。
• 规则:
  1. 符号位单独处理,$Q_s=X_s\oplus Y_s$。
  2. 如果部分余数为正,减去除数;如果为负,加上除数。
  3. 根据新的部分余数符号来确定商:
     • 如果新余数与除数同号,说明够减,商上1。
     • 如果新余数与除数异号,说明不够减,商上0。
  4. 将余数左移一位,继续下一轮。
  5. 最后若余数为负,需加上除数进行一次恢复。

4. 补码除法 (加减交替法)

• 规则:与原码除法类似,但所有数都用补码表示。
• 上商规则:
  • 如果部分余数和除数同号,商上1,下次操作为:余数左移一位,减去除数。
  • 如果部分余数和除数异号,商上0,下次操作为:余数左移一位,加上除数。
• 末位恒置1:为简化硬件,商的最后一位可以直接置1,但会引入误差。

易考点与难点

难点:布斯算法是本节的核心难点和高频考点。需要准确记忆 $Y_n{Y}_{n+1}$ 的四种情况对应的操作,并熟练进行补码的算术右移。手算过程很容易出错。

难点:补码除法的上商规则和余数修正比较复杂,特别是符号的判断。

易考点:

• 原码一位乘法的流程相对简单,是理解乘法硬件实现的基础。
• 理解乘法需要n次加法和n次移位,而除法需要n+1次加/减和n次移位。