磁场的高斯定理和安培环路定理

磁通量

类比于静电场中引入的电通量，定义磁场中的磁通量为

$$\Phi =\int \mathit{B}\cdot d\mathit{S}$$

在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号是 $\text{Wb}$。

$$1\text{Wb}=1\text{T}\cdot {\text{m}}^2$$

磁场的高斯定理

由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，从封闭曲面 $S$ 中穿出的磁场线必然会再次进入封闭曲面 $S$，因此磁场的高斯定理为

$$\oint \mathit{B}\cdot d\mathit{S}=0$$

安培环路定理

在静电场中，电场强度的环流等于零，即

$$\oint \mathit{E}\cdot d\mathit{l}=0$$

从毕奥-萨伐尔定律可以得到安培环路定理 安培环路定理的表述为：在恒定电流的磁场中，磁感应强度 $\mathit{B}$ 沿任意闭合曲线 $L$ 的线积分（即环流）等于通过该闭合曲线内的电流代数和的 ${\mu }_0$ 倍。
即

$${\oint }_L\mathit{B}\cdot d\mathit{l}={\mu }_0\sum I_{\text{内}}$$

式中，$\sum I_{\text{内}}$ 是通过环路 $L$ 内的电流代数和。
电流的正负号由电流的方向决定，若电流与环路的方向一致，则电流为正，否则为负。

安培环路定理的推导

若闭合曲线内包含有电流 取线元 $d\mathit{l}$，在 $O$ 点处的距离为 $r$ ，张角为 $d\phi$ ，与 $d\mathit{l}$ 的夹角为 $\theta$。则有

$$rd\phi =d\mathit{l}\cdot \mathit{r}=rdl\cos \theta$$$${\oint }_L\mathit{B}\cdot d\mathit{l}={\oint }_{L}Bdl\cos \theta ={\oint }_{L}Brd\phi ={\int }_0^{2\pi }\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}rd\phi ={\mu }_{0}I$$

不包含电流时可以证明积分区域是两段角度互补的区域，所以积分为零。