电偶极子

定义

电偶极子是由两个相等大小、异种电荷构成的，相距很近的两个点电荷组成的系统。

设电偶极子的两个电荷分别为 $+q$ 和 $-q$，两电荷之间的距离为 $l$，则电偶极矩为

$$\mathit{p}=q\mathit{l}$$

电偶极矩是一个矢量，其方向由 $-q$ 指向 $+q$。

场强分布

设 $r$ 为点电荷到电偶极子中心的距离，$\theta$ 为 $r$ 与电偶极矩的夹角，则

1. 在电偶极子的延长线上

$$E_{+}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{{(r-\frac{l}{2})}^2}$$$$E_{-}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{{(r+\frac{l}{2})}^2}$$$$E=E_{+}-E_{-}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2lr}{{(r^2-\frac{l^2}{4})}^2}$$

即有 当 $r\gg l$ 时，有

$$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2p}{r^3}$$

2. 在电偶极子的轴线上

$$E_{+}=E_{-}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2+\frac{l^2}{4}}$$

由对称性分析，两个点电荷在轴线上产生的场强大小相等，方向相反，仅留下了 $E$ 的 $-\mathit{l}$ 方向的分量，即

$$E=-E_{+}\cos \theta -E_{-}\cos \theta =-2E_{+}\cos \theta =-2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2+\frac{l^2}{4}}\cos \theta$$

由几何关系可得

$$\cos \theta =\frac{l/2}{\sqrt{r^2+{\left(l/2\right)}^2}}=\frac{1}{2}\frac{l}{\sqrt{r^2+\frac{l^2}{4}}}$$

代入上式可得

$$E=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{ql}{{(r^2+\frac{l^2}{4})}^{\frac{3}{2}}}$$

当 $r\gg l$ 时，有

$$E=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{p}{r^3}$$

其中负号代表电场方向与电偶极矩方向相反。
可以写成矢量式

$$\mathit{E}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathit{p}}{r^3}$$

3. 在电偶极子的任意场点处 略，见教材 P23。

电偶极子在外电场中所受的力矩

处于匀强电场中的电偶极子，其两个电荷受到的力相等，方向相反，合力为零，但是它们所受的力矩不为零。电偶极子在外电场中所受的力矩为：

$$\mathit{M}=\mathit{p}\times \mathit{E}$$

电偶极子在外电场中的电势能

$$W_{e+}=q{\phi }_{+},W_{e-}=q{\phi }_{-}$$$$W_e=W_{e+}-W_{e-}=q({\phi }_{+}-{\phi }_{-})$$$${\phi }_{+}-{\phi }_{-}={\int }_{+}^{-}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}$$

由于$\mathit{E}$是匀强电场

$${\int }_{+}^{-}d\mathit{l}=-\mathit{l}$$$$W_e=q\mathit{E}{\int }_{+}^{-}d\mathit{l}=-\mathit{p}\cdot \mathit{E}=-\mathit{p}\cdot \mathit{E}=-pE\cos \theta$$