动生电动势和感生电动势

动生电动势

定义

在电磁感应中，单纯由导体在磁场中运动产生的电动势称为 动生电动势。

计算方法

在导体棒 $ab$ 中产生的动生电动势应等于将单位正电荷从从导体棒的负极 $b$ 移动到正极 $a$ 时所做的功

$${\mathit{E}}_k=\frac{\mathit{F}}{q}=\mathit{v}\times \mathit{B}$$$$d\mathcal{E}={\mathit{E}}_k\cdot d\mathit{l}=\mathit{v}\times \mathit{B}\cdot d\mathit{l}$$$$\mathcal{E}=\int \mathit{v}\times \mathit{B}\cdot d\mathit{l}=Blv\sin \theta$$

• 若计算出的电动势为正，则电流方向与选取的方向一致；
• 若计算出的电动势为负，则电流方向与选取的方向相反。

能量起源

产生动生电动势的非静电起源是洛伦兹力 而洛伦兹力是不做功的，但感应电动势可以输出电功，是否矛盾？ 洛伦兹力的功率是

$$\begin{array}{rl}{P}_L=\mathit{F}\cdot \mathit{v}& =({\mathit{F}}_L+{\mathit{F}}_L^{\prime })\cdot (\mathit{v}+{\mathit{v}}^{\prime })\\ & =e\mathit{v}B{\mathit{v}}^{\prime }-e{\mathit{v}}^{\prime }B\mathit{v}=0\end{array}$$

洛伦兹力的功率为零

所有电子宏观的运动导致了安培力的做功
由于安培力会阻碍导体棒的运动，要以恒定速度 $v$ 将导体棒移动，需要外力做功

$$P_{ext}={\mathit{F}}_{ext}\cdot \mathit{v}=\mathit{B}I\times \mathit{L}\cdot \mathit{v}=\mathcal{E}I$$

电动势的功率等于外力做功的功率，电能来源是外力克服安培力做功

感生电动势

定义

导体回路静止不动，导体回路中的磁通量随时间变化而产生的电动势称为 感生电动势。

计算方法

$$\mathcal{E}=-\frac{d\Phi }{dt}={\int }_S\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}\cdot d\mathit{S}$$

能量起源

麦克斯韦猜想，变化的磁场会产生电场，感生电动势的能量来源是磁场的变化

$$\mathcal{E}={\oint }_L{\mathit{E}}_k\cdot d\mathit{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$$

法拉第电磁感应定律的另一种表述

$$\mathcal{E}={\oint }_L(\mathit{v}\times \mathit{B}+{\mathit{E}}_k)\cdot d\mathit{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$$

感生电场

$${\oint }_L{\mathit{E}}_k\cdot d\mathit{l}=-{\int }_S\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}\cdot d\mathit{S}$$

可以看出，感生电场的环流可以不为零。 可以证明，感生电场线是无头无尾的闭合曲线。 因此有

$${\oint }_S{\mathit{E}}_k\cdot d\mathit{S}=0$$

此式称为感生电场的高斯定理。

总电场

	静电场 $E_{\text{静}}$	感生电场 $E_k$
场源	静止的电荷	变化的 磁场
电场线	起始于正电荷，终止于负电荷	无头无尾的变化曲线
环路定理	$$\oint_L \boldsymbol{E}_{\text{静}} \cdot d\boldsymbol{l} = 0$$	$$\oint_L \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{l} = -\int_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d\boldsymbol{S}$$
高斯定理	$$\oint_S \boldsymbol{E}{\text{静}} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$	$$\oint_S \boldsymbol{E}_k \cdot d\boldsymbol{S} = 0$$
电场性质	保守场，无旋	非保守场，有旋

可以根据上面的性质推出总电场的环路定理和高斯定理。
即

$${\oint }_S\mathit{E}\cdot d\mathit{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{{\epsilon }_0}$$$${\oint }_L\mathit{E}\cdot d\mathit{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$$

以上两式就是麦克斯韦方程组中关于电场的两个基本方程。

感生电场的方向

感生电场的方向就是感生电动势和感生电流的方向。
负号代表的含义就是反抗磁场的变化。
满足左手螺旋定则。

涡电流及电磁阻尼

当大块金属处在变化的磁场中或在磁场中运动时，在其内部会出现涡旋形状的感生电流，称为涡电流。

涡电流的热效应

涡流会产生大量的热，广泛用于电磁炉。

为了避免涡电流的热效应，常常采取多个硅钢片叠加的方法，使涡流被限制在单个绝缘的硅钢片中，从而减小涡电流的热效应。

涡电流的机械效应

常用于电磁阻尼器，如电磁制动器。

也可以用于电磁驱动，当磁场在运动的时候，导体会跟随磁场运动，交流感应电动机就是利用这个原理。

涡电流的电磁效应

金属探测器就是利用涡电流的电磁效应来探测金属的。
涡流也会产生磁场，这个磁场会反过来影响外部磁场，从而影响感应电动势，达到探测金属的目的。