自感与互感

自感

定义

当线圈中有电流 $I$ 通过时，电流 $I$ 所产生的磁场 $B$ 在线圈自身回路中也会产生磁通量 $\Psi$，当电流 $I$ 随时间变化时，根据法拉第电磁感应定律，线圈在自身回路中会产生感应电动势 $\mathcal{E}$。

激发感应电动势的现象称为 自感，相应的感应电动势称为 自感电动势。

自感系数

根据毕奥-萨伐尔定律知，电流在空间中产生的磁场 $B$ 与电流 $I$ 成正比，故其产生的全磁通 $\Psi$ 与电流 $I$ 成正比，即

$$\Psi =LI$$

其中 $L$ 为线圈的自感系数，单位为亨利（H）。

$$1\mathrm{H}=1\mathrm{Wb}/\mathrm{A}=1\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}/\mathrm{A}$$

自感系数只与线圈本身的几何形状和材料有关，与电流的大小和方向无关。

$$B=\mu \frac{N}{l}I$$$$\Psi =\int B\cdot dS=\mu \frac{N}{l}IS$$$$L=\frac{\Psi }{I}=\mu \frac{N^2}{l}S=\mu n^{2}V$$

自感电动势

当电流发生变化时，线圈中产生的感应电动势 ${\mathcal{E}}_L$ 为

$${\mathcal{E}}_L=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$$

负号代表自感电动势的方向总是阻碍电流的变化。

互感

当两个彼此靠近的线圈，当其中一个线圈中有电流 $I_1$ 通过时，会在另一个线圈中产生感应电动势 ${\mathcal{E}}_2$ 的现象称为 互感，相应的感应电动势称为 互感电动势。

互感系数

$${\Psi }_{21}=M_{21}{I}_1$$$${\Psi }_{12}=M_{12}{I}_2$$

可以证明

$$M_{21}=M_{12}=M$$

其中 $M$ 为两个线圈的互感系数，单位为亨利（H）。

互感电动势

当电流发生变化时，线圈中产生的感应电动势 ${\mathcal{E}}_M$ 为

$${\mathcal{E}}_{21}=-\frac{d{\Psi }_{21}}{dt}=-M\frac{d{I}_1}{dt}$$$${\mathcal{E}}_{12}=-\frac{d{\Psi }_{12}}{dt}=-M\frac{d{I}_2}{dt}$$