静电场的环路定理与电势

静电场的环路定理

引理

$$A_{ab}={\int }_a^{b}d\mathit{A}={\int }_a^b\mathit{E}\cdot d\mathit{l}={\int }_a^{b}E\cdot dl\cdot \cos \theta$$

环路定理

$$\oint \mathit{E}\cdot d\mathit{l}=0$$

表述为：在静电场电场强度的环流等于零。

与 高斯定理 一样，也是表述静电场性质的一个重要定理，可以用环路定理检验一个电场是否是静电场。

静电势能

静电力做的功：

$$A_{ab}={\int }_a^b\mathit{F}\cdot d\mathit{l}=W_a-W_b=-\mathrm{\Delta }W$$

对于试验电荷 $q$，在电场中移动的过程中，电场力做的功为

$$A_{ab}={\int }_a^b\mathit{F}\cdot d\mathit{l}=q{\int }_a^b\mathit{E}\cdot d\mathit{l}=q{\int }_a^{b}E\cdot dl\cdot \cos \theta$$

将电荷移到电势零点电场力做的功称为电荷在电场中的势能，即

$$\mathrm{\Delta }W=W_a-W_b=q{\int }_a^{b}E\cdot dl\cdot \cos \theta =q{\int }_a^{b}E\cdot dl=q\mathrm{\Delta }U$$

电势能单位为焦耳，符号为 $\text{J}$。

电势与电势差

$$\phi =\frac{W}{q}={\int }_a^{\text{电势零点}}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}$$

在理论计算中通常选取无穷远为电势零点，即

$$\phi ={\int }_P^{\mathrm{\infty }}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}({\phi }_{\mathrm{\infty }}=0)$$

电势差，也称电压，是指两点之间的电势差，即

$$U_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\mathit{E}\cdot d\mathit{l}$$

静电力做的功可以表示为

$$A_{ab}=q{U}_{ab}$$

电势能的计算

积分

$$\phi ={\int }_P^{\mathrm{\infty }}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}=-{\int }_{\mathrm{\infty }}^P\mathit{E}\cdot d\mathit{l}$$

点电荷

$$\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$$

叠加法

$$\phi =\sum _{i=1}^n{\phi }_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_i}{r_i}$$$$\phi =\int d\phi$$

等势面

等势面上的法向量与电场强度的方向相同，即

$$\mathit{E}\cdot d\mathit{l}=0$$