磁场对运动电荷的作用

洛伦兹力

导线中的电流在磁场中受到的安培力为其中运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。

$$\mathit{F}=q\mathit{v}\times \mathit{B}$$

洛伦兹力垂直于粒子的速度 $\mathit{v}$ ，故它只改变速度方向，不改变速度大小，即不做功。

带电粒子在磁场中的运动

1. $\mathit{v}\parallel \mathit{B}$ 时，粒子做匀速直线运动。
2. $\mathit{v}\perp \mathit{B}$ 时，粒子做匀速圆周运动。
   • 回旋半径$$R=\frac{mv}{qB}$$
   • 回旋周期$$T=\frac{2\pi m}{qB}$$
   • 回旋频率$$f=\frac{qB}{2\pi m}$$
3. $\mathit{v}$ 与 $\mathit{B}$ 的夹角为 $\theta$ 时，粒子做螺旋线运动。 可将 $\mathit{v}$ 分解为 ${\mathit{v}}_{\mathbf{\parallel }}$ 和 ${\mathit{v}}_{\mathbf{\perp }}$ 两部分
   • ${\mathit{v}}_{\mathbf{\parallel }}$ 与 $\mathit{B}$ 平行，不受磁场力作用，做匀速直线运动。
   • ${\mathit{v}}_{\mathbf{\perp }}$ 与 $\mathit{B}$ 垂直，受到磁场力作用，做匀速圆周运动。
   • 回旋半径$$R=\frac{m{v}_{\perp }}{qB}=\frac{mv\sin \theta }{qB}$$
   • 螺距 在一个周期内，粒子在磁场中沿轴线方向移动的距离。$$L=v_{\parallel }T=v_{\parallel }\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi mv\cos \theta }{qB}$$
   • 磁聚焦 当 $\theta$ 很小的时候， $v_{\parallel }\approx v$ ，一批带电粒子的速度分散在一定范围内，但是在磁场中运动后，速度分散减小，使得粒子聚焦在一点上。

应用实例

速度选择器

速度选择器是利用带电粒子在电场和磁场中的受力情况，使得只有特定速度的粒子通过的装置。 在速度选择器中，电场和磁场的方向垂直，电场的方向与磁场的方向相同，使得带电粒子在电场中受到的电场力和磁场力相互抵消，从而只有特定速度的粒子通过。

$$qE=qvB$$$$v=\frac{E}{B}$$

汤姆孙实验

$$evB=\frac{m{v}^2}{r}$$$$eE=evB$$$$\frac{e}{m}=\frac{v}{rB}=\frac{E}{B^{2}r}$$

质谱仪

$$qv{B}^{\prime }=m\frac{v^2}{r}$$$$m=\frac{q{B}^{\prime }r}{v}=\frac{qB{B}^{\prime }r}{E}$$

回旋加速器

$$\frac{T}{2}=\frac{\pi m}{qB}$$$$v=\frac{qBR}{m}$$

霍尔效应

$$U_H=E_{H}h=v_{D}Bh$$$$I=nq{v}_{D}bh$$$$U_H=\frac{IB}{nqb}$$

其中 $U_H$ 为霍尔电压， $K_H=\frac{1}{nq}$ 为霍尔系数，只与材料有关。