电场

与电荷的关系

$$\text{电荷}\rightleftharpoons \text{电场}\rightleftharpoons \text{电荷}$$

电场对外的表现主要有

1. 电场力
2. 做功：具有电场能
3. 静电感应现象和极化现象

电场强度

定义

$$\mathit{E}=\frac{\mathit{F}}{q}$$

点电荷产生的电场强度

$$\mathit{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{\mathit{e}}_{\mathit{r}}$$

电偶极子

电偶极子

电荷连续分布的带电体产生的电场

$$d\mathit{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}{\mathit{e}}_{\mathit{r}}$$$$\mathit{E}=\int d\mathit{E}=\int \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}{\mathit{e}}_{\mathit{r}}$$

可以把矢量分别沿三个坐标轴分解，然后分别积分，最后合成矢量。

$$d\mathit{E}=d{E}_x\mathit{i}+d{E}_y\mathit{j}+d{E}_z\mathit{k}$$$$E_x=\int d{E}_x,E_y=\int d{E}_y,E_z=\int d{E}_z$$

电荷密度

1. 电荷线密度

$${\lambda }_e=\frac{dq}{dl}$$

2. 电荷面密度

$${\sigma }_e=\frac{dq}{dS}$$

3. 电荷体密度

$${\rho }_e=\frac{dq}{dV}$$

几个模型

1. 点电荷模型
2. 电偶极子
3. 无限长均匀带电直线 $r$ 为距离直线的距离，${\lambda }_e$ 为线密度，则当 $r\gg l$ 时 (即 $r$ 远大于线长)

$$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2\lambda }{r}$$

等价于一个点电荷产生的电场 4. 均匀带电圆环 $r$ 为距离圆心的距离，${\lambda }_e$ 为线密度，则

$$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qr}{(r^2+R^2{)}^{\frac{3}{2}}}$$

当 $r\gg R$ 时 (即 $r$ 远大于圆环半径)

$$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^2}$$

5. 无限大均匀带电平面 $r$ 为距离平面的距离，${\sigma }_e$ 为面密度，则当 $r\gg l$ 时 (即 $r$ 远大于平面长)

$$E=\frac{{\sigma }_e}{2{\epsilon }_0}$$

6. 均匀带电圆盘
   • $r$ 接近于 $0$ 时，圆盘可看作一个无限大带电平面，即 $E=\frac{{\sigma }_e}{2{\epsilon }_0}$
   • $r$ 远大于圆盘半径时，圆盘可看作一个点电荷，即 $E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^2}$
7. 无限大带电厚壁 $r$ 为距离平面左端的距离，${\rho }_e$ 为体密度，$d$ 为厚度。 可以看作连续的无限大带电平面，即

$$E={\int }_0^d\frac{\frac{d{\rho }_e}{dx}}{2{\epsilon }_0}dx$$