有介质时的高斯定理

有电介质存在时的总场强

有电介质存在时的总场强为：

$$\mathit{E}={\mathit{E}}_{\mathbf{0}}+{\mathit{E}}^{\mathbf{\prime }}$$

其中，${\mathit{E}}_{\mathbf{0}}$ 是外电场，${\mathit{E}}^{\mathbf{\prime }}$ 是极化电场。

即电场 $\mathit{E}$ 由束缚电荷的分布决定，而电介质最后的极化情况即点极化强度 $\mathit{P}$ 和束缚电荷的分布又是由电场 $\mathit{E}$ 决定的。

可见三者之间的关系是相互影响的，可以通过引入适当的物理量来简化问题。

电位移和有介质时的高斯定理

有电介质时，高斯定理依然成立，只不过此时 $\mathit{E}$ 通量的计算需要同时考虑自由电荷和束缚电荷的贡献。 即：

$${\oint }_S\mathit{E}\cdot d\mathit{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum (q_{0\mathrm{内}}+q_{\mathrm{内}}^{\prime })$$

根据极化强度与极化电荷的关系 可知：

$${\oint }_S({\epsilon }_0\mathit{E}+\mathit{P})\cdot d\mathit{S}=\sum q_{0\mathrm{内}}$$

引入一个物理量 $\mathit{D}$，称为电位移矢量，定义为：

$$\mathit{D}={\epsilon }_0\mathit{E}+\mathit{P}$$

称为电位移矢量，其单位是 $\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^2$。
则上式可改写成：

$${\oint }_S\mathit{D}\cdot d\mathit{S}=\sum q_{0\mathrm{内}}$$

此式证明：通过任意闭合曲面的电位移通量（或称为 $\mathit{D}$ 通量）等于该闭合曲面内的自由电荷之和。 称为有介质时的高斯定理，或称为 $\mathit{D}$ 的高斯定理。

介电常数

对于各向同性电介质，有：

$$\mathit{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathit{E}=\epsilon \mathit{E}$$

式中比例系数 $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$ 称为电介质的介电常数

应用

1. 根据自由电荷的分布求出电位移 $\mathit{D}$ 的分布
2. 根据电位移 $\mathit{D}$ 的分布求出电场强度 $\mathit{E}$
3. 根据 $\mathit{E}$ 求出 $\mathit{P}$
4. 根据 $\mathit{P}$ 求出束缚电荷面密度 ${\sigma }_e^{\prime }$
5. 根据 ${\sigma }_e^{\prime }$ 求出束缚电荷总量 $q^{\prime }$

静电场的边界条件

电场强度切向分量的连续性

再两种电介质的分界面上，用 $E_{1t}$ 和 $E_{2t}$ 分别表示分界面电场强度切向分量大小，由环路定理知：

$${\oint }_L\mathit{E}\cdot d\mathit{l}=E_{1t}\mathrm{\Delta }l+E_{2t}\mathrm{\Delta }l=0$$

即：

$$E_{1t}=E_{2t}$$

可见，电场强度的切向分量在两种电介质的分界面上是连续的。

电位移法向分量的连续性

在两种电介质的分界面上，用 $D_{1n}$ 和 $D_{2n}$ 分别表示分界面电位移法向分量大小，由高斯定理知：

$${\oint }_S\mathit{D}\cdot d\mathit{S}=D_{1n}\mathrm{\Delta }S+D_{2n}\mathrm{\Delta }S=0$$

即：

$$D_{1n}=D_{2n}$$

可见，电位移的法向分量在两种电介质的分界面上是连续的。

以上推出的两个结论称为静电场的边界条件。

$\mathit{D}$ 线的折射定律

$$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\epsilon }_{r1}}{{\epsilon }_{r2}}$$