刷题笔记：定点数补码表示与转换

1. 题目要求

题目背景：字长为 8 位（含 1 位符号位）。 题目目标：求下列数值的原码、反码和补码。

• 整数：0, -0, 1101, -1101
• 小数：0.1000, -0.1000, 0.1111, -0.1111

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2. 核心知识点总结

A. 符号位规范

• 正数：符号位为 0。
• 负数：符号位为 1。
• 分隔符：整数通常用逗号 , 隔开，小数通常用小数点 . 隔开。

B. 转换逻辑（重点）

1. 正数：三码合一（原码 = 反码 = 补码）。
2. 负数：
   • 反码：原码符号位不变，数值位按位取反。
   • 补码：在反码末位加 1。
   • ⚡ 快捷算法（灵动转换）：从原码右端向左找第一个 1，该 1 及其右边的 0 保持不变，左边（除符号位外）数值位全部取反。

C. 特殊值：0 的表示

• 原码/反码：$[+0{]}_{\mathrm{原}}$ 和 $[-0{]}_{\mathrm{原}}$ 有两种形式。
• 补码：$[+0{]}_{\mathrm{补}}$ 和 $[-0{]}_{\mathrm{补}}$ 形式唯一，均为全 0。

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3. 典型题解示例

数值	原码	反码	补码
0	0,0000000	0,0000000	0,0000000
-0	1,0000000	1,1111111	0,0000000
1101	0,0001101	0,0001101	0,0001101
-1101	1,0001101	1,1110010	1,1110011
0.1000	0.1000000	0.1000000	0.1000000
-0.1000	1.1000000	1.0111111	1.1000000
-0.1111	1.1111000	1.0000111	1.0001000

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4. 深度思考：整数与小数的共通性

8位整数补码循环圆环 (模 256)

模运算逻辑

[x]补 = M + x

零点 (0000 0000)

正负在此汇合，补码唯一

溢出点 (1000 0000)

从 +127 跨越到 -128

补码的本质是模运算 (Modular Arithmetic)。

• 共通公式：对于负数，$ [x]_补 = 模 + x $。
• 模定义：定点整数模为 $2^n$，定点小数模为 $2$。
• 灵动之处：补码将符号位真正"数值化"，其权重在小数中为 $-1$，在整数中为 $-2^{n-1}$。这使得计算机可以用同一套加法器逻辑处理正负数运算，无需额外设计减法器。