群、子群与陪集

群的定义

• 半群：设 $V=⟨S,\circ ⟩$ 是一个代数系统，若 $\circ$ 是可结合的，则称 $V$ 是一个半群。
• 独异点：设 $V=⟨S,\circ ⟩$ 是一个半群，若 $V$ 中存在单位元 $e$，则称 $V$ 是一个含幺半群，也称为独异点。
• 群：设 $V=⟨S,\circ ⟩$ 独异点，若 $V$ 中任意元素 $a$ 都有逆元，则称 $V$ 是一个群，通常将群记作 $G$。

实例：

• $⟨{\mathbb{Z}}^{+},+⟩$ 是半群
• $⟨\mathbb{N},+⟩$ 是含幺半群
• $⟨\mathbb{Z},+⟩$ 是群
• Klein 四元群 $G=\{e,a,b,c\}$，满足交换律，每个元素都是自己的逆元，$a,b,c$ 中任意两个元素的运算结果都是第三个元素。

有关群的术语与性质

• 有限群：群 $G$ 是有限集。

• 群的阶：群 $G$ 的基数称为 $G$ 的阶，记作 $|G|$。

• 平凡群：只有一个元素的群。（即只含单位元的群）

• 阿贝尔群：满足交换律的群，也称为交换群。

• 元素的幂：设 $a\in G,n\in \mathbb{Z}$，定义 $a^n$ 为：$a^n=\{\begin{array}{ll}{a}^{n-1}a& n>0\\ e& n=0\\ (a^{-1}{)}^n& n<0\end{array}$

• 元素的阶：设 $a\in G$，若存在最小的正整数 $n$ 使得 $a^n=e$，则称 $n$ 为 $a$ 的阶，称 $a$ 为 $n$ 阶元，若不存在这样的 $n$，称 $a$ 为无限阶元。

  • $e$ 是 $1$ 阶元

幂运算的性质

1. $\mathrm{\forall }a\in G,{\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a$
2. $\mathrm{\forall }a,b\in G,(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$
3. $\mathrm{\forall }a\in G,a^n{a}^m=a^{n+m}$
4. $\mathrm{\forall }a\in G,(a^n{)}^m=a^{nm}$
5. $G\mathrm{是}\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{群}\Rightarrow \mathrm{\forall }a,b\in G,(ab{)}^n=a^n{b}^n$

阶的性质

1. $\mathrm{\forall }a\in G,a^k=e\Rightarrow |a||k$
2. $\mathrm{\forall }a\in G,|a|=|a^{-1}|$

• $a,b\in G\mathrm{且}\mathrm{是}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{阶}\mathrm{元}\left|b^{-1}ab\right|=|a|$

消去律

$a,b,c\in G$

1. $ab=ac\Rightarrow b=c$
2. $ba=ca\Rightarrow b=c$

$$G=a_1,a_2,\cdots ,a_n,a_{i}G=\{a_i{a}_j|a_j\in G\}=G$$

设群 $G$ 为有限群，则 $G$ 中阶大于 $2$ 的元素有偶数个。

• 若 $a^2=e$，则 $a=a^{-1}$
• 故 $G$ 中阶大于 $2$ 的元素要成对出现。

$\mathrm{\forall }x,b\in G$, 方程 $ax=b$ 和 $ya=b$ 在 $G$ 中存在唯一解。

无零元

若 $G$ 中存在零元 $\theta$，则有 $\mathrm{\forall }x\in G,x\theta =\theta x=\theta \ne x$，故 $G$ 中不存在零元。

子群与群的陪集分解

子群

设 $G$ 是一个群，若 $H$ 是 $G$ 的一个非空子集，且 $H$ 对 $G$ 的运算构成一个群，则称 $H$ 是 $G$ 的一个子群，记作 $H\le G$。 若 $H$ 是 $G$ 的子群，且 $H\ne G$，则称 $H$ 是 $G$ 的真子群，记作 $H<G$。

对任何群 $G$ 都存在子群。$G$ 和 $\{e\}$ 都是 $G$ 的子群，称为 $G$ 的平凡子群。

子群的判定

1. 使用定义验证：
   • $\mathrm{\forall }a,b\in H,ab\in H$
   • $\mathrm{\forall }a\in H,a^{-1}\in H$
2. $H\ne \varnothing ,\mathrm{\forall }a,b\in H,a{b}^{-1}\in H$
3. $H\ne \varnothing$，且 $H$ 是有穷的，$\mathrm{\forall }a,b\in H,ab\in H$

生成子群

设 $G$ 是一个群，$a\in G$，令 $H=\{a^k|k\in \mathbb{Z}\}$，则 $H$ 是 $G$ 的一个子群，称 $H$ 是由 $a$ 生成的子群，记作 $H=⟨a⟩$。

由子集生成的子群

$B\subseteq G$

$$⟨B⟩=\bigcap \{H|B\subseteq H\wedge H\le G\}$$

中心

$$C=\{a\in G|\mathrm{\forall }x\in G,ax=xa\}$$

称 $C$ 为 $G$ 的中心，$C$ 是 $G$ 的一个子群。

子群的并和交

设 $G$ 是一个群，$H_1,H_2$ 是 $G$ 的两个子群，则

1. $H_1\cap H_2$ 是 $G$ 的子群
2. $H_1\cup H_2$ 当且仅当 $H_1\subseteq H_2$ 或 $H_2\subseteq H_1$ 时是 $G$ 的子群

子群格

$$L(G)=\{H|H\le G\}$$

则偏序集 $⟨L(G),\subseteq ⟩$ 称为 $G$ 的子群格。

子群格

陪集

有 $a\in G,H\le G$

• $Ha=\{ha|h\in H\}$ 称为 $H$ 的右陪集
• $aH=\{ah|h\in H\}$ 称为 $H$ 的左陪集

下面主要讨论右陪集。

$a$ 为 $Ha$ 或 $aH$ 的代表元素。

陪集的性质

1. $H=H$
2. $\mathrm{\forall }a\in G,a\in Ha$
3. $a\in Hb\iff a{b}^{-1}\in H\iff Ha=Hb$

定义等价关系 $R$：

$$aRb\iff a\in Hb\iff a{b}^{-1}\in H$$$$[a{]}_R=Ha$$

1. $\mathrm{\forall }a,b\in G,Ha=Hb\bar{\vee }Ha\cap Hb=\varnothing$
2. $\bigcup \{Ha|a\in G\}=G$
3. $H\approx Ha$，即 $|H|=|Ha|$

• 正规子群：若 $H$ 是 $G$ 的子群，且 $\mathrm{\forall }a\in G,Ha=aH=H$，则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群，也称 不变子群。

Lagrange 定理

设 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，有：

$$|G|=|H|\cdot [G:H]$$

其中 $[G:H]$ 称为 $G$ 对 $H$ 的指数，是 $H$ 在 $G$ 中的不同右陪集的个数。

推论

1. 对有限群 $G$，$\mathrm{\forall }a\in G,|a|||G|$
2. 对于阶是素数的群，其子群只有平凡子群和本身，即 $\mathrm{\forall }a\in G,⟨a⟩=G$