环与域

环

设 $⟨R,+,\cdot ⟩$ 是一个代数系统，如果满足以下条件：

1. $⟨R,+⟩$ 是一个阿贝尔群
2. $⟨R,\cdot ⟩$ 是一个半群
3. $\cdot$ 对 $+$ 满足分配律。 则称 $⟨R,+,\cdot ⟩$ 是一个环。

通常称 $+$ 为环 $R$ 的加法，$\cdot$ 为环 $R$ 的乘法。 环中加法单位元 记作 $0$，乘法单位元记作 $1$。

对任何元素 $x$，称其加法逆元为负元，记作 $-x$。 若 $x$ 存在乘法逆元，则称之为逆元，记作 $x^{-1}$。

$nx$ 表示 $n$ 个 $x$ 相加，$x^n$ 表示 $n$ 个 $x$ 相乘。

环的实例

1. 关于普通加法和乘法封闭的环
   • 整数环 $\mathbb{Z}$
   • 有理数环 $\mathbb{Q}$
   • 实数环 $\mathbb{R}$
   • 复数环 $\mathbb{C}$
2. $oplus$ 和 $otimes$ 分别表示模 $n$ 加法和乘法的环 ${\mathbb{Z}}_n$
3. $n$ 阶矩阵环 $M_n(\mathbb{R})$
4. $P(B)$ 对称差和交的环

环的性质

设 $⟨R,+,\cdot ⟩$ 是一个环

1. $\mathrm{\forall }a\in R,0\cdot a=a\cdot 0=0$
2. $\mathrm{\forall }a,b\in R,(-a)b=a(-b)=-ab$
3. $\mathrm{\forall }a,b,c\in R,a(b-c)=ab-ac,(a-b)c=ac-bc$
4. ${\displaystyle \mathrm{\forall }{a}_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots ,b_m\in R,\sum _{i=1}^n{a}_i\sum _{j=1}^m{b}_j=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j}$

特殊的环

• 交换环：满足乘法交换律的环
• 含幺环：存在乘法单位元的环
• 无零因子环：若 $ab=0\Rightarrow a=0\vee b=0$ 的环
  • 当且仅当满足乘法消去律时，环是无零因子环
• 整环：以上三个性质同时满足的环
• 域：设 $R$ 是整环，且 $R$ 中至少含有两个元素，每个非零元都有乘法逆元，则称 $R$ 是一个域。