公式的解释

定义 4.7 的详解

这个定义描述了一阶语言 $L$ 在一个解释 $I$ 下是如何具体化的，也就是说，如何给出语言中符号的含义。我们先简单介绍一些背景知识，然后详细解释定义的每一部分。

一阶语言（First-Order Language）

一阶语言是一种形式化语言，用来描述和推理关于对象及其关系。它由以下几部分组成：

常项符号：表示某些特定的对象。
函数符号：表示从对象到对象的映射（即函数）。
谓词符号：表示对象之间的关系（例如“等于”、“大于”）。
变项符号：表示对象中的某个未知值（类似于变量）。

解释（Interpretation）

在形式逻辑中，解释 $I$ 是赋予一阶语言中的符号具体含义的规则。通过解释，我们可以将抽象的符号系统与真实的对象或概念联系起来。解释告诉我们常项符号代表什么，函数符号如何作用，以及谓词符号表示哪些关系。

现在我们来看定义 4.7 的每个部分。

1. 非空个体域 $D_{I}$

(a) 非空个体域 $D_{I}$

个体域是解释 $I$ 中所有可能的个体或对象的集合。这个集合不能是空的，必须至少包含一个对象。所有语言符号（常项符号、函数符号、谓词符号等）都在这个域上进行解释。

个体域 $D_{I}$ ：是解释中所有可能对象的集合。
非空性：确保我们讨论的语言总是关于某些实际的对象。
例子：如果我们讨论的是自然数，那么个体域 $D_{I}$ 可以是自然数的集合 ${0, 1, 2, 3, \dots}$ 。

2. 常项符号的解释

(b) 对每一个个体常项符号 $a \in L$ ，有一个 $d_{a} \in D_{I}$ ，称 $d_{a}$ 为 $a$ 在 $I$ 中的解释。

常项符号是语言中表示特定个体的符号。例如，如果 $a$ 是一个常项符号，解释 $I$ 将为 $a$ 赋予个体域 $D_{I}$ 中的某个具体对象。

解释规则：解释将常项符号与个体域中的某个特定元素 $d_{a} \in D_{I}$ 关联起来。
例子：如果 $a$ 是常项符号，代表数字 $0$ ，而个体域是自然数，那么 $d_{a}$ 就是 $0$ 这个数。

3. 函数符号的解释

(c) 对每一个 $n$ 元函数符号 $f \in L$ ，有一个定义在 $D_{I}$ 上的 $n$ 元函数 $f_{I} : D_{I}^{n} \to D_{I}$ ，称 $f_{I}$ 为 $f$ 在 $I$ 中的解释。

函数符号表示将 $n$ 个对象映射到另一个对象的函数。解释 $I$ 为每个函数符号指定一个具体的函数，作用于个体域 $D_{I}$ 中的对象。

函数符号 $f$ ：表示 $n$ 元函数，即从 $D_{I}$ 中取 $n$ 个对象，然后映射到 $D_{I}$ 中的另一个对象。
解释规则：每个函数符号 $f$ 都有一个具体的函数 $f_{I}$ ，这个函数是从 $D_{I}^{n}$ 到 $D_{I}$ 的映射。
例子：如果 $f$ 是加法符号 $+$ ，而个体域是自然数，那么 $f_{I}$ 就是通常的自然数加法函数，即 $f_{I} (2, 3) = 5$ 。

4. 谓词符号的解释

(d) 对每一个 $n$ 元谓词符号 $F \in L$ ，有一个定义在 $D_{I}$ 上的 $n$ 元谓词 $F_{I} \subseteq D_{I}^{n}$ ，称 $F_{I}$ 为 $F$ 在 $I$ 中的解释。

谓词符号表示对象之间的关系。解释 $I$ 为每个谓词符号指定一个具体的谓词（即关系），它是从个体域 $D_{I}$ 中的对象到布尔值（真或假）的映射。换句话说，谓词符号表示哪些对象之间的关系成立。

谓词符号 $F$ ：表示 $n$ 元关系，即在 $D_{I}$ 中取 $n$ 个对象，判断它们之间的关系是否成立。
解释规则：每个谓词符号 $F$ 都有一个具体的谓词 $F_{I}$ ，这是 $D_{I}$ 上的一个 $n$ 元关系。
例子：如果 $F$ 是谓词符号 $=$ （表示相等关系），而个体域是自然数，那么 $F_{I}$ 表示通常的自然数相等关系，即 $F_{I} (3, 3) = True$ ，而 $F_{I} (2, 3) = False$ 。

5. 赋值 $σ$

解释 $I$ 中还有一个赋值函数 $σ$ ，用于处理个体变项符号（变量）。每个变量 $x$ 都被解释为个体域中的某个具体对象 $σ (x)$ 。

赋值 $σ$ ：为每个变量符号 $x$ 分配个体域 $D_{I}$ 中的一个具体对象。
作用：通过赋值，可以对一阶语言中的量词公式进行具体解释，例如“对于所有 $x$ ”和“存在 $x$ ”这样的表达式。
例子：如果 $x$ 是一个变量，而个体域 $D_{I}$ 是自然数集，那么赋值 $σ (x)$ 可以是 $2$ ，表示当前 $x$ 的值是 $2$ 。

总结

定义 4.7 描述了一阶语言在解释 $I$ 下的具体含义。解释为语言中的常项符号、函数符号和谓词符号赋予了个体域中的具体含义，同时通过赋值 $σ$ 解释了变量的具体取值。这种解释方法将形式语言与实际对象、函数和关系联系起来，使得我们可以用形式语言来描述和推理实际问题。

公式的解释 ​

定义 4.7 的详解 ​

一阶语言（First-Order Language） ​

解释（Interpretation） ​

1. 非空个体域 DI ​

(a) 非空个体域 DI ​

2. 常项符号的解释 ​

(b) 对每一个个体常项符号 a∈L，有一个 da∈DI，称 da 为 a 在 I 中的解释。 ​

3. 函数符号的解释 ​

(c) 对每一个 n 元函数符号 f∈L，有一个定义在 DI 上的 n 元函数 fI:DIn→DI，称 fI 为 f 在 I 中的解释。 ​

4. 谓词符号的解释 ​

(d) 对每一个 n 元谓词符号 F∈L，有一个定义在 DI 上的 n 元谓词 FI⊆DIn，称 FI 为 F 在 I 中的解释。 ​

5. 赋值 σ ​

总结 ​