偏序关系

若 $R$ 是自反的、反对称的、传递的，则称 $R$ 是偏序关系。记作 $\preccurlyeq$。 设 $\preccurlyeq$ 是一个偏序关系，若 $<x,y>\in \preccurlyeq$，则称 $x$ 小于等于 $y$，记作 $x\preccurlyeq y$。

偏序关系的性质

设 $R$ 是 $A$ 上的偏序关系

1. $\mathrm{\forall }x,y\in A,x\prec y\iff x\preccurlyeq y\wedge x\ne y$
2. $\mathrm{\forall }x,y\in A,x\mathrm{与}y\mathrm{可}\mathrm{比}\iff x\preccurlyeq y\vee y\preccurlyeq x$
   • 若 $\mathrm{\forall }x,y\in A,x\mathrm{与}y\mathrm{可}\mathrm{比}$，则称 $R$ 是全序关系
   • 实例：数集上的小于或等于关系是全序关系，整除关系不是正整数集合上的全序关系
3. 若 $x\prec y\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }z(x\prec z\prec y)$，则称 $y$ 覆盖 $x$

偏序集

集合 $A$ 与其上的偏序关系 $\preccurlyeq$ 称为偏序集，记作 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 如：$⟨\mathbb{Z},\le ⟩$，$<P(A),\subseteq >,⟨\mathbb{N},|⟩$

哈斯图

在 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ ，若 $y$ 覆盖 $x$，则 $y$ 在哈斯图中位于 $x$ 的上方，且用一条从 $x$ 指向 $y$ 的有向边表示。（绘制时忽略箭头）

哈斯图是简化的关系图，是由偏序关系的性质而省略的：

1. 自反性：每个顶点都有自环，故省略自环。
2. 反对称性：从小到大的有向边只有一条，故省略箭头。
3. 传递性：$<a,b>,<b,c>\in R\Rightarrow <a,c>\in R$，故省略 $⟨a,c⟩$ 的有向边。

特殊元素

最大元、最小元、极大元、极小元

设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个偏序集， $B\subseteq A$，$y\in B$，则

1. 最大元：若 $\mathrm{\forall }x(x\in B\to x\preccurlyeq y)$，则称 $y$ 是 $B$ 的最大元
2. 最小元：若 $\mathrm{\forall }x(x\in B\to y\preccurlyeq x)$，则称 $y$ 是 $B$ 的最小元
3. 极大元：若 $\mathrm{\forall }x(x\in B\to (y\preccurlyeq x\to x=y))$，则称 $y$ 是 $B$ 的极大元
4. 极小元：若 $\mathrm{\forall }x(x\in B\to (x\preccurlyeq y\to x=y))$，则称 $y$ 是 $B$ 的极小元

最大元和极小元要求集合中所有元素与其有偏序关系
极大元和极小元仅要求没有比它更大或更小的元素。

最大元和最小元不一定存在，但若存在则唯一。
极大元和极小元一定存在，但不一定唯一。

最大元一定是极大元，最小元一定是极小元。

上界、下界、上确界、下确界

设 $⟨A,\preccurlyeq ⟩$ 是一个偏序集，$B\subseteq A$，$y\in A$，则

1. 上界：若 $\mathrm{\forall }x(x\in B\to x\preccurlyeq y)$，则称 $y$ 是 $B$ 的上界
2. 下界：若 $\mathrm{\forall }x(x\in B\to y\preccurlyeq x)$，则称 $y$ 是 $B$ 的下界
3. 上确界：若 $C=\{y|y\text{ 是 }B\text{ 的上界}\}$，则 $C$ 的最小元称为 $B$ 的上确界或最小上界，记作 $\text{sup}B$
4. 下确界：若 $C=\{y|y\text{ 是 }B\text{ 的下界}\}$，则 $C$ 的最大元称为 $B$ 的下确界或最大下界，记作 $\text{inf}B$

上下界与最大最小元的区别在于，上下界是在整个偏序集中寻找，而最大最小元是在指定的子集中寻找。

上界和下界不一定存在，若存在也不一定唯一。 上确界和下确界不一定存在，若存在一定唯一。

一个集合的最小元是它的下确界，最大元是它的上确界。反之不一定成立。