康普顿效应

1923年，美国物理学家 阿瑟·康普顿 在观察X射线被石墨等物质散射时，发现在散射线中除有与入射波长相同的射线外，还有波长比入射波长更长的射线，这种有波长改变的散射现象称为康普顿效应。

康普顿散射公式

实验给出的波长偏移量 $\mathrm{\Delta }\lambda$ 与散射角 $\phi$ 之间的关系为

$$\mathrm{\Delta }\lambda ={\lambda }_c(1-\cos \phi )$$

式中的 ${\lambda }_c$ 称为康普顿波长，其表达式为

$${\lambda }_c=\frac{h}{m_{e}c}=2.43\times {10}^{-12}\text{m}$$

康普顿效应与经典理论的矛盾

经典波动理论无法解释上述波长改变了的康普顿效应。 按照经典波动理论，在X射线的照射下，物质中的带电粒子将从入射光中吸收能量，做同频率的受迫振动，所辐射的电磁波的频率也应与入射光的频率相同，因而不会发生波长改变。

光量子解释

在光子射到散射体上并和某一原子中的外层电子发生碰撞过程中，电子会吸收一部分能量，脱离原子而反冲出去，称为反冲电子；所以散射光子的能量就要比入射光子的能量小，因而散射光的频率会变小，而波长会变长。

设碰撞前入射光子的频率为 ${\nu }_0$ ，则其能量为 $h{\nu }_0$ ，动量为 $p=\frac{h{\nu }_0}{c}$ ，其中， ${\mathit{e}}_0$ 为入射光方向上的单位矢量； 静止的自由电子能量为 $m_e{c}^2$ ，动量为零。

碰撞后，散射角为 $\phi$ 的散射光子的能量为 $h\nu$ ，动量为 $p^{\prime }=\frac{h\nu }{c}\mathit{e}$ ，其中， $\mathit{e}$ 为散射光方向上的单位矢量。 反冲速度为 $v$ 的电子质量为

$$\begin{array}{}\text{(1)}& m=\frac{m_e}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}$$

能量为 $m{c}^2$ ，动量为 $mv$ 。

由动量守恒和能量守恒可得

$$\begin{array}{}\text{(2)}& h{\nu }_0+m_e{c}^2=h\nu +m{c}^2\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{h{\nu }_0}{c}{\mathit{e}}_0=\frac{h\nu }{c}\mathit{e}+m\mathit{v}\end{array}$$

其中下式可以写成两个分量方程

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{h{\nu }_0}{c}=\frac{h\nu }{c}\cos \phi +mv\cos \theta \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{h\nu }{c}\sin \phi =mv\sin \theta \end{array}$$

联立$(4)(5)$，消去 $\theta$ 可得

$$\begin{array}{}\text{(6)}& m^2{v}^2{c}^2=h^2({\nu }_0^2+{\nu }^2-2{\nu }_0\nu \cos \phi )\end{array}$$

又因为

$$\begin{array}{}\text{(7)}& m^2{c}^4=h^2({\nu }_0^2+{\nu }^2-2{\nu }_0\nu )+m_e^2{c}^4+2h{m}_e{c}^2({\nu }_0-\nu )\end{array}$$

$(6)$ 式减去 $(7)$ 式，代入 $(1)$ 式可得

$$2h{\nu }_0\nu (1-\cos \phi )=2h{m}_e{c}^2(n{u}_0-\nu )$$

于是有

$$\mathrm{\Delta }\lambda =\lambda -{\lambda }_0=\frac{c}{\nu }-\frac{c}{{\nu }_0}=\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \phi )={\lambda }_c(1-\cos \phi )$$

与实验结果一致。

散射电子不能吸收光子

假设自由电子能够完全吸收光子，则由能量守恒定律和动量守恒定律可得

$$h{\nu }_0+m_e{c}^2=m{c}^2$$$$\frac{h{\nu }_0}{c}{\mathit{e}}_0=mv{\mathit{e}}_{\mathbf{0}}$$

上式与

$$m=\frac{m_e}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

联立可得到

$$v=c$$

违背了相对论。