洛伦兹变换

一个事件： $S$ 系中的坐标为 $(x,y,z,t)$， $S^{\prime }$ 系中的坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$，两个系之间的相对速度为 $u$ 满足以下关系：

1. $x$, $y$, $z$ 轴与 $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$ 轴平行
2. $S^{\prime }$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向以速度 $u$ 运动
3. 当 $t=t^{\prime }=0$ 时，两个系的坐标原点重合

$$\begin{array}{r}\begin{array}{lll}{x}^{\prime }& =& \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ y^{\prime }& =& y\\ z^{\prime }& =& z\\ t^{\prime }& =& \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\end{array}\}\leftrightarrows \{\begin{array}{lll}x& =& \frac{x^{\prime }+u{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ y& =& y^{\prime }\\ z& =& z^{\prime }\\ t& =& \frac{t^{\prime }+\frac{u}{c^2}{x}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\end{array}\end{array}$$$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

称为洛伦兹因子。 有

$$x^{\prime }=\gamma (x-ut)$$

根据爱因斯坦相对性原理，两个系之间除了相对速度相反之外，没有其他差别，因此有

$$x=\gamma (x^{\prime }+u{t}^{\prime })$$$$x^2+y^2+z^2-c^2{t}^2=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=0$$

同时性的相对性

在 $S$ 系中，两个事件 $A$ 和 $B$ 在 $x$ 轴上的坐标分别为 $x_A$ 和 $x_B$，在 $S^{\prime }$ 系中，两个事件的坐标分别为 $x_A^{\prime }$ 和 $x_B^{\prime }$，则有

$$x_A=\gamma (x_A^{\prime }+u{t}_A^{\prime })$$$$x_B=\gamma (x_B^{\prime }+u{t}_B^{\prime })$$

两个事件同时发生的条件是 $t_A=t_B$，即 $t_A^{\prime }=t_B^{\prime }$，则有

$$x_A=\gamma (x_A^{\prime }+u{t}_A^{\prime })=\gamma (x_B^{\prime }+u{t}_B^{\prime })=x_B$$

即在 $S$ 系中同时发生的两个事件，在 $S^{\prime }$ 系中不一定同时发生，这就是同时性的相对性。

因果律

在 $S$ 系中，事件 $A$ 发生在事件 $B$ 之前，即 $t_A<t_B$，则有

$$t_A^{\prime }=\frac{t_A-\frac{u}{c^2}{x}_A}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}<\frac{t_B-\frac{u}{c^2}{x}_B}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=t_B^{\prime }$$

即在 $S^{\prime }$ 系中，事件 $A$ 同样发生在事件 $B$ 之前，这就是因果律。