薛定谔方程

一般形式的薛定谔方程

$$\hat{H}\Psi =i\hslash \frac{\partial \Psi }{\partial t}$$

其中 $\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U$ ， $U$ 是势能函数。
对于一维情况，薛定谔方程的一般形式为

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial x^2}+U\Psi =i\hslash \frac{\partial \Psi }{\partial t}$$

定态薛定谔方程

对于定态，即 $\Psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hslash }$ ，概率密度 $|\Psi {|}^2={\Psi }^{\ast }\Psi =|\psi {|}^2$ 不随时间变化。
代入薛定谔方程得到

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+U\psi =E\psi$$

即

$$\hat{H}\psi =E\psi$$

称为 $\hat{H}$ 的本征方程， $\psi$ 为本征函数， $E$ 为本征值。

$E={\displaystyle \frac{p^2}{2m}+U}$ ， $p$ 为动量。 即能量为动能和势能之和。

一维无限深势阱

一维无限深势阱的势能函数为

$$U(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a\\ +\mathrm{\infty },& \text{其他}\end{array}$$

波函数为

$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a},}& 0<x<a\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

由定态薛定谔方程得到能量本征值

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=E\psi$$$$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$$

由

$$E_n=\frac{p_n^2}{2m}$$

得到动量本征值

$$p_n=\frac{n\pi \hslash }{a}=\frac{h}{2a}n$$

故波长为

$${\lambda }_n=\frac{h}{p_n}=\frac{2a}{n}$$

一维谐振子

一维谐振子的势能函数为

$$U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$

求得能级公式为

$$E_n=(n+\frac{1}{2})=(n+\frac{1}{2})h\nu$$

其中基态能量为

$$E_0=\frac{1}{2}h\nu$$

称为零点能。

谐振子的最低能量不等于零，即它永远不能静止不动。

势垒穿透

在势能有限的情况下,微观粒子可以穿过势垒到达另一侧，称“隧道效应”。