氢原子光谱-玻尔的氢原子理论

氢原子光谱

氢原子的光谱呈现分立离散的线状光谱，称为氢光谱。

用波长的倒数 $\sigma =\frac{1}{\lambda }$ 来代替光谱线的波长

谱系

$$\sigma =R_{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2})$$

巴尔末系

式中 $R_{\mathrm{\infty }}=1.097\times {10}^7{\text{m}}^{-1}$ 称为里德伯常量

莱曼系

$$\sigma =R_{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1^1}-\frac{1}{n^2})$$

帕邢系

$$\sigma =R_{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{n^2})$$

布拉开系

$$\sigma =R_{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{n^2})$$

普丰德系

$$\sigma =R_{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{n^2})$$

广义巴尔末系

$$\sigma =R_{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}),m=1,2,3,\cdots ,n-1$$

玻尔的氢原子理论

玻尔突破经典物理学的束缚，结合了经典力学和量子力学的思想，提出了氢原子的理论模型，包含下面三个假设：

1. 定态假设 一个原子系统能够并且只能经常的处于一系列特定的能量状态，这些状态称为定态。 虽然电子在绕核旋转，但是它不会辐射能量，也不会坠入核内。
2. 频率条件 电子在不同的能级之间跃迁时，辐射或者吸收的光子的频率满足$$h\nu =|E_f-E_i|$$其中 $E_f$ 为最终能级， $E_i$ 为初始能级。
3. 角动量量子假设 电子以速度 $v$ 在半径为 $r$ 的圆周上绕核运动，只有电子的角动量大小 $L$ 等于 $\hslash$ 的整数倍的那些轨道是稳定的，即$$L=m_{e}vr=n\hslash$$其中 $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ 为约化普朗克常数， $n$ 为量子数， $n=1,2,3,\cdots$

氢原子的能量公式

从这些假设出发，可以推导出氢原子的能量公式

$$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r^2}=m_e\frac{v^2}{r}$$$$r_n=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}{n}^2$$

当 $n=1$ 时，轨道半径最小为 $a_0=0.529\times {10}^{-10}\text{m}$，称为玻尔半径。

电子在某一定态轨道上运动时，氢原子系统的总能量即定态能量为

$$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r}=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}$$

将 $r_n$ 代入上式可得

$$E_n=-\frac{e^2}{2\left(4\pi {\epsilon }_0\right)r_n}=-\frac{m_e{e}^4}{2{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2{\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}=-\frac{13.6}{n^2}\text{eV}$$

其中 $n$ 只能取一系列正整数，称为主量子数。

$n=1$ 时，称为基态， $n=2,3,4,\cdots$ 时，称为激发态。 $E_1=-13.6\text{eV}$，氢原子的电离能 $E_i=E_{\mathrm{\infty }}-E_1=13.6\text{eV}$

类氢离子的能级公式

类氢离子如 $H{e}^{+}$，$L{i}^{2+}$ 等的能级公式为

$$E_n=-\frac{m_e{e}^4}{2{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2{\hslash }^2}\cdot \frac{Z}{n^2}=-\frac{13.6Z}{n^2}\text{eV}$$

其中 $Z$ 为核电荷数。

光子的频率与波长

$$\nu =\frac{E_n-E_m}{h}={\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2\frac{m_e{e}^4}{4\pi {\hslash }^3}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})$$$$\sigma =\frac{1}{\lambda }=\frac{\nu }{c}={\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2\frac{m_e{e}^4}{4\pi {\hslash }^{3}c}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})$$

与广义巴尔末系的公式相同。可得里德堡常量

$$R_{\mathrm{\infty }}={\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\right)}^2\frac{m_e{e}^4}{4\pi {\hslash }^{3}c}=1.097\times {10}^7{\text{m}}^{-1}$$