原子中的电子

氢原子

四个量子数

氢原子的波函数由四个量子数确定：主量子数 $n$、角量子数 $l$、磁量子数 $m$ 和自旋量子数 $s$。

主量子数-能量量子化

主量子数 $n$ 决定了能级的大小，取值范围为 $n=1,2,3,\cdots$。

$$E_n=-\frac{e^2}{2\left(4\pi {\epsilon }_0\right)r_n}=-\frac{m_e{e}^4}{2{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2{\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}=-\frac{13.6}{n^2}\text{eV}$$

角量子数-角动量量子化

角量子数 $l$ 决定了轨道的形状，取值范围为 $l=0,1,2,\cdots ,n-1$。
用 $L$ 表示角动量的大小，有

$$L=\sqrt{l(l+1)}\hslash$$

磁量子数-角动量空间取向量子化

磁量子数 $m_l$ 决定了轨道的空间方向，取值范围为 $m_l=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ,\pm l$。 轨道角动量在 $z$ 方向的投影为

$$L_z=m_l\hslash$$

自旋量子数与自旋磁量子数-自旋量子化

自旋量子数 $s$ 决定了电子的自旋方向，只能取 $s=\frac{1}{2}$

$$S=\sqrt{s(s+1)}\hslash =\frac{\sqrt{3}}{2}\hslash$$

自旋磁量子数 $m_s$ 决定了自旋在 $z$ 方向的投影，取值范围为 $m_s=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$。

$$S_z=m_s\hslash$$

总角动量

$$\mathit{J}=\mathit{L}+\mathit{S}$$$$J=\sqrt{j(j+1)}\hslash$$

其中 $j=\{\begin{array}{ll}l+\frac{1}{2},& \text{当}l=0,1,2,\cdots ,n-1\\ l-\frac{1}{2},& \text{当}l=1,2,\cdots ,n-1\end{array}$

氢原子波函数

氢原子波函数的一般形式为：

$${\Psi }_{n,l,m}=R_{n,l}(r)Y_{l,m_l}(\theta ,\varphi )$$

其中 $R_{n,l}(r)$ 为径向波函数，$Y_{l,m_l}(\theta ,\varphi )$ 为球谐函数。

能量最低原理

原子处于正常状态时，其中电子都要占据最低能级。 判断能级高低的经验公式：

$$n+0.7l$$

其值越小，能级越低。

例如：

• $4s$ ($l=0$) 能级：$n+0.7l=4+0.7\times 0=4$
• $3d$ ($l=2$) 能级：$n+0.7l=3+0.7\times 2=4.4$
  可以解释电子先填充 $4s$ 而不是 $3d$。

泡利不相容原理

一个原子中的电子总是倾向于占据能量最低的轨道，而且每个轨道最多只能容纳两个电子，且这两个电子的自旋量子数必须相反。

壳层

$n$ 相同的可能电子态构成一个壳层。
$n=1,2,3,\cdots$ 表示为 $K, L, M, N, O, P, \cdots $$n$ 壳层最多容纳的电子数为 $2n^2$。

支壳层

($n$ 相同), $l$ 相同的可能电子态构成一个支壳层。
$l=0,1,2,\cdots$ 表示为 $s,p,d,f,g,h,\cdots$
$l$ 支壳层最多容纳的电子数为 $2(2l+1)$。