相对论力学基础

相对论动量和质量

$$m=\gamma m_0=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$$$\mathit{p}=\gamma m_0\mathit{v}=\frac{m_0\mathit{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$$$\mathit{F}=\frac{\mathrm{d}\mathit{p}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}\mathit{v}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\mathit{v}=m\mathit{a}+\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\mathit{v}$$

质能关系

相对论动能

$$\mathrm{d}A=\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}$$

求粒子被加速到速度 $v$ 时的动能

$$A={\int }_0^v\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{x}={\int }_0^v\frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}x={\int }_0^{v}v\mathrm{d}(mv)$$

由

$$m^2(c^2-v^2)=m_0^2{c}^2$$

得

$$2m{c}^2\mathrm{d}m-2mv\mathrm{d}(mv)=0$$

得

$$c^2\mathrm{d}m=v\mathrm{d}(mv)$$

代入上式得

$$A={\int }_0^{v}v\mathrm{d}(mv)={\int }_0^v{c}^2\mathrm{d}m=c^2(m-m_0)$$

因此可得粒子的动能为

$$E_k=c^2(m-m_0)$$

另外，当 $v\ll c$ 时，利用泰勒展开式可得

$$E_k=m_0{c}^2(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)\approx \frac{1}{2}{m}_0{v}^2$$

相对论能量

在上式中动能被表示为两项的差，其中 $m_0{c}^2$ 与静止质量有关，称为静止能量，用 $E_0$ 表示， $m{c}^2$ 与相对论质量有关，称为相对论能量或总能量，用 $E$ 表示，即

$$E=m{c}^2$$

这就是爱因斯坦的质能关系。

质量和能量是物质相互联系、不可分割的两个基本属性，二者之间可以相互转化，质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。

静止能量是牛顿力学中没有的全新的物理概念，它表明孤立的物体即使静止也具有能量，这种能量包括物体内所有微观粒子的动能和势能等一切形式的能量，是物体内能的总和．

相对论能量守恒定律

$$\sum _i{E}_i=\sum _i{m}_i{c}^2=\text{常量}⟺\sum _i{m}_i=\text{常量}$$

能量守恒定律和质量守恒定律是等价的，二者被独立发现，在相对论中被统一起来。 但是应该明确，质量守恒指的是相对论运动质量的守恒，而不是静止质量的守恒。

质量亏损

$$E=m_0{c}^2+E_k$$

如果在一个封闭系统中发生了一个变化或反应，反应前后粒子的静止质量由 $m_{0_1}$ 变为 $m_{0_2}$，相应的动能由 $E_{k_1}$ 变为 $E_{k_2}$，则有

$$m_{0_1}{c}^2+E_{k_1}=m_{0_2}{c}^2+E_{k_2}$$

即

$$\mathrm{\Delta }{m}_0{c}^2=\mathrm{\Delta }{E}_k$$

相对论能量和动量的关系

将 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ 代入 $E=m{c}^2$ 和 $p=mv$ 可得

$$E^2=p^2{c}^2+m_0^2{c}^4$$

这就是相对论能量和动量之间的关系式