随机变量及其分布

离散型随机变量

单点分布

若随机变量$X$只取一个常数值$c$，即$P\{X=c\}=1$，则称$X$服从单点分布，也称为退化分布。

0-1分布

若随机变量$X$只可能取$0$和$1$两个值，其分布律为

X	0	1
P	q	p

则称$X$服从参数为$p$的$0-1$分布或两点分布。 两点分布又称为 ==伯努利(Bernoulli)== 分布

二项分布

$X\sim b(n,p)$ 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，$A$与$S-A$，且有$P(A)=p$。 则在 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$发生的次数$X$是一个离散型随机变量，其分布律为

$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$$

称$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布，记为$X\sim b(n,p)$。

期望

$E(X)=np$

方差

$D(X)=np(1-p)$

几何分布

$X\sim G(p)$

$$k=1,2,3,\dots P\{X=k\}=q^{k-1}p,k=1,2,3,\dots$$

期望

$E(X)=\frac{1}{p}$

方差

$D(X)=\frac{q}{p^2}$

无记忆性

若$X$服从参数为$p$的几何分布，$n$, $m$为任意两 个正整数，则

$$P\{X>n+m|X>n\}=P\{X>m\}$$

可以理解为：若已经进行了$n$次试验，事件$A$没有发生，则又进行$m$次试验$A$依然没有发生的概率与已知的信息（前$n$次试验$A$没有发生）无关 这就是说， 并不因为已经进行了$n$次试验$A$没有发生，而会使得在第$n+1,n+2,\dots ,n+m$次试验中$A$首次发生的概率提高。

超几何分布

$X\sim H(n,M,N)$

$$P\{X=m\}=\frac{C_M^m-C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}m=0,1,\dots ,l,l=min(M,n)$$

期望

$E(x)=n\frac{M}{N}$

性质

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{M}{N}=p$时，近似于二项分布

泊松分布

$X\sim P(\lambda )$ 或 $X\sim \pi (\lambda )$

$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$$

期望

$E(X)=\lambda$

方差

$D(X)=\lambda$

性质

泊松分布和二项分布的关系

二项分布在$np=\lambda$ 且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{时}$，近似于参数为$\lambda$的泊松分布 理解：$\lambda$ 代表的是一段时间（次数等量纲）内发生稀疏事件的个数

泊松分布的闭合性

泊松分布的稀疏子事件仍然服从泊松分布 具体来说，如果一个随机过程中的事件总数服从泊松分布 $\pi (\lambda )$，且每个事件发生时有概率 $p$ 满足某个条件（如遇到红灯），那么满足该条件的事件数目仍然服从泊松分布，参数为 $\lambda p$

泊松分布和指数分布的关系

若 $\lambda$ 代表的是单位时间内的平均发生次数，即事件发生的速率为 $\lambda$ ，那么那么事件之间的时间间隔 $T$（即两次事件之间的时间间隔）将服从指数分布 $T\sim E(\lambda )$ 同理，若 $\lambda$ 代表的是 $t$ 时间内的平均发生次数，即事件发生服从泊松分布$\pi (\lambda t)$ ，那么那么事件之间的时间间隔 $T$ 将服从指数分布 $T\sim E(\lambda t)$

连续型随机变量

均匀分布

$X\sim U(a,b)$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

期望

$E(X)=\frac{a+b}{2}$

方差

$D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

指数分布

$X\sim E(\lambda )$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

期望

$E(X)=\frac{1}{\lambda }$

方差

$D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

无记忆性

$\forall s, t > 0, P\left\lbrace X > s + t \ |\ x > s\right \rbrace = P\left\lbrace X > t\right \rbrace $\mathrm{如}\mathrm{果}$X$\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{某}\mathrm{仪}\mathrm{器}\mathrm{的}\mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{寿}\mathrm{命}，\mathrm{无}\mathrm{后}\mathrm{效}\mathrm{性}\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{释}\mathrm{是}：\mathrm{当}\mathrm{仪}\mathrm{器}\mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{了}$s$\mathrm{小}\mathrm{时}\mathrm{后}\mathrm{再}\mathrm{能}\mathrm{继}\mathrm{续}\mathrm{工}\mathrm{作}$t$\mathrm{小}\mathrm{时}\mathrm{的}\mathrm{概}\mathrm{率}\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{该}\mathrm{仪}\mathrm{器}\mathrm{刚}\mathrm{开}\mathrm{始}\mathrm{就}\mathrm{能}\mathrm{工}\mathrm{作}$t$小时的概率。

正态分布

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$$

期望

$E(X)=\mu$

方差

$D(X)={\sigma }^2$

标准正态分布

$$\mu =0,\sigma =1$$$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$$$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt,-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$$

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$F(x)=\varphi (\frac{x-\mu }{\sigma })$

随机变量的分布

分布函数与密度函数

$$F(x)=P\{X\le x\}$$$$f(x)=F^{\prime }(x)$$

连续型随机变量函数的分布

$$F_Y(y)=F_X(h(y))\mathrm{或}1-F_X(h(y))$$