假设检验

理论依据

参数假设检验所处理的问题是：总体的分布类型已知，对总体分布中的未知参数提出某种假设，然后利用样本（即数据）对假设进行检验，最后根据检验的结果对所提出的假设作出成立与否的判断

假设检验分为参数假设检验和非参数假设检验。

根据小概率原理：如果实际观测到的数据在某假设下出现的可能性很小，则认为该假设是错误的。

统计假设检验是具有概率性质的反证法。

基本概念

1. 建立假设 - 提出一个关于总体分布的命题
2. 原假设 $H_0$ - 对总体分布中的未知参数提出的关于参数的陈述，通常是不等式形式
3. 备择假设 $H_1$ - 对总体分布中的未知参数提出的关于参数的陈述，通常是不等式形式
4. 检验统计量 - 根据样本数据计算的一个统计量，用于检验假设
   先假定原假设 $H_0$ 成立，然后根据样本数据构造一个合适的小概率事件
   需要构造一个统计量，使得在原假设成立时，该统计量的分布是已知的，从而可以计算出该统计量的小概率
5. 检验法则 - 根据检验统计量的取值，判断原假设的成立与否
6. 拒绝域 - 使得原假设 $H_0$ 被拒绝的取值区域
7. 接受域 - 使得原假设 $H_0$ 被接受的取值区域
8. 显著性水平 $\alpha$ - 假设检验中犯第一类错误的概率
9. 第一类错误 - 原假设为真，但被拒绝
10. 第二类错误 - 原假设为假，但被接受

$$P\{\text{拒绝}{H}_0|H_0\text{为真}\}=P\{W|H_0\}\le \alpha$$

利用此式，可以确定拒绝域的临界点

假设检验的基本步骤

1. 建立假设 - 提出关于总体分布的原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$
2. 构造检验统计量 - 根据样本数据构造一个统计量，使得在原假设成立时，该统计量的分布是已知的
3. 确定拒绝域的形式 - 根据 $H_0$ 和 $H_1$ 确定拒绝域的形式
4. 确定临界点 - 确定拒绝域的临界点，使得拒绝域的概率等于显著性水平 $\alpha$
5. 计算检验统计量的值 - 根据样本数据计算检验统计量的值，判断是否落入拒绝域
6. 作出判断 - 根据检验统计量的值，判断原假设 $H_0$ 的成立与否

两类错误

第一类错误和第二类错误

1. 第一类错误：拒真概率 - 原假设为真，但被拒绝

$$P\{\text{拒绝}{H}_0|H_0\text{为真}\}=P\{W|H_0\}=\alpha$$

2. 第二类错误：取伪概率 - 原假设为假，但被接受

$$P\{\text{接受}{H}_0|H_0\text{为假}\}=P\{A|H_1\}=1-P\{\bar{W}|H_1\}$$

第一类错误和第二类错误的关系

我们通常规定第一类错误的概率为 $\alpha$，即显著性水平，而第二类错误的概率为 $\beta$。 第二类错误的概率 $\beta$ 与样本容量、显著性水平、总体参数真值等因素有关，通常是一个较小的值。 在一般情形下，$\alpha$ 和 $\beta$ 不能同时减小，只能在两者之间取得平衡。

要同时降低两类错误的概率，或者要在第一类错误的概率不变的条件下降低第二类的错误概率，需要增加样本容量。

关于零假设与备择假设的选择

$H_0$ 与 $H_1$ 的地位应当平等，但在控制第一类错误的情况下，，采取拒绝 $H_0$ 的决策变得较为慎重，即 $H_0$ 得到了较高的保护。 因而，通常把有把握的、不能轻易改变的或存在已久的状态作为原假设。

另外，由于在做假设检验时，控制的是犯第一类错误的概率，因此选取后果严重的错误作为第一类错误，这也是选取原假设和备择假设的一个原则。

单个正态总体均值与方差的假设检验

均值 $\mu$ 的假设检验

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，${\mu }_0$ 是一个已知的常数。

方差 ${\sigma }^2$ 已知 $H_0$: $\mu ={\mu }_0$

1. 建立假设 - $H_0:\mu ={\mu }_0$，$H_1:\mu \ne {\mu }_0$
2. 构造检验统计量 - $W=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
3. 确定拒绝域的形式 - $H_1:\mu \ne {\mu }_0$，拒绝域为 $|W|>z_{\alpha /2}$
4. 确定临界点 - $P\{|W|>z_{\alpha /2}\}=\alpha$
5. 计算检验统计量的值 - 计算 $W$ 的值
6. 作出判断 - 若 $|W|>z_{\alpha /2}$，则拒绝 $H_0$，否则接受 $H_0$

方差 ${\sigma }^2$ 已知 $H_0$: $\mu \le {\mu }_0$

1. 确定拒绝域的形式 - $H_1:\mu >{\mu }_0$，拒绝域为 $W>z_{\alpha }$
2. 确定临界点 - $P\{W>z_{\alpha }\}=\alpha$

方差 ${\sigma }^2$ 未知

样本方差 $S^2$ 代替 ${\sigma }^2$，$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

总结

$Z$ 检验 $\sigma$ 已知

以下方法用正态分布来检验均值的假设，所以称为 $Z$ 检验。

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	检验统计量	拒绝域
$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$	$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$	$\text{abs}(Z)\ge z_{\alpha /2}$
$\mu \le {\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$	$Z\ge z_{\alpha }$
$\mu \ge {\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$	$Z\le -z_{\alpha }$

$t$ 检验 $\sigma$ 未知

以下方法用 $t$ 分布来检验均值的假设，所以称为 $t$ 检验。

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	检验统计量	拒绝域
$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$	$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$	$\text{abs}(T)\ge t_{\alpha /2}(n-1)$
$\mu \le {\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$	$T\ge t_{\alpha }(n-1)$
$\mu \ge {\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$	$T\le -t_{\alpha }(n-1)$

方差 ${\sigma }^2$ 的假设检验

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，${\sigma }_0^2$ 是一个已知的常数。

均值 $\mu$ 未知 $H_0$: ${\sigma }^2={\sigma }_0^2$

样本方差 $S^2$ 为 ${\sigma }^2$ 的无偏估计量。 $s^2$ 为样本方差的观测值，$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$。 $H_0$ 成立时 $\frac{s^2}{{\sigma }_0^2}$ 的值应该接近于1。 需要两个界限，即 $\frac{s^2}{{\sigma }_0^2}$ 的下界 $C_1$ 和上界 $C_2$，拒绝域为

$$W=\{\frac{s^2}{{\sigma }_0^2}\le C_1\text{或}\frac{s^2}{{\sigma }_0^2}\ge C_2\}$$

为了计算方便，通常取 $C_1={\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$ 和 $C_2={\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$

$H_0$ 成立时，有

$$\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

有

$$P\{\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}<(n-1)C_1\}=\frac{\alpha }{2},P\{\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}>(n-1)C_2\}=\frac{\alpha }{2}$$

故知

$$C_1=\frac{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}{n-1},C_2=\frac{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)}{n-1}$$

拒绝域为

$$W=\{\frac{s^2}{{\sigma }_0^2}<\frac{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}{n-1}\text{或}\frac{s^2}{{\sigma }_0^2}>\frac{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)}{n-1}\}$$

等价的拒绝域为

$$W=\{\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)\text{或}\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}>{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)\}$$

均值 $\mu$ 已知

$$\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$$

利用该 ${\chi }^2$ 分布来检验方差的假设。

总结

以下的检验都是用 ${\chi }^2$ 分布来检验方差的假设，所以称为${\chi }^2$检验。

${\chi }^2$ 检验 $\mu$ 未知

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	检验统计量	拒绝域	临界点
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$	${\chi }^2(n-1)=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}$	$\{\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)\text{或}\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}>{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)\}$	${\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$, ${\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$
${\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2>{\sigma }_0^2$	$\dots$	$\{\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}>{\chi }_{\alpha }^2(n-1)\}$	${\chi }_{\alpha }^2(n-1)$
${\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2<{\sigma }_0^2$	$\dots$	$\{\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}<{\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)\}$	${\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)$

${\chi }^2$ 检验 $\mu$ 已知

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	检验统计量	拒绝域	临界点
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$	${\chi }^2(n)=\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$	$\{\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)\text{或}\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2>{\chi }_{\alpha /2}^2(n)\}$	${\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)$, ${\chi }_{\alpha /2}^2(n)$
${\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2>{\sigma }_0^2$	$\dots$	$\{\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2>{\chi }_{\alpha }^2(n)\}$	${\chi }_{\alpha }^2(n)$
${\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2<{\sigma }_0^2$	$\dots$	$\{\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2<{\chi }_{1-\alpha }^2(n)\}$	${\chi }_{1-\alpha }^2(n)$