分位数

定义

设 $X$ 是连续型随机变量，$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，$0<\alpha <1$，若满足

$$P\{X\ge x_{\alpha }\}=1-F(x_{\alpha })={\int }_{x_{\alpha }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\alpha$$

则称 $x_{\alpha }$ 为 $X$ 的上 $\alpha$ 分位数。

标准正态分布

标准正态分布的上 $\alpha$ 分位数记为 $z_{\alpha }$，即

$$P\{Z\ge z_{\alpha }\}=1-F(z_{\alpha })=\alpha$$

性质

1. $\mathrm{\Phi }(z_{\alpha })=1-\alpha$
2. $z_{1-\alpha }=-z_{\alpha }$

后面常用到下面两个式子：

$$P\{|Z|>z_{\alpha /2}\}=\alpha ,P\{|Z|\le z_{\alpha /2}\}=1-\alpha$$

常用数字：

$$z_{0.025}=z_{0.975}=1.96,z_{0.05}=z_{0.95}=1.645$$

chi-square分布

设 $X\sim {\chi }^2(n)$，则 ${\chi }^2(n)$ 的上 $\alpha$ 分位数记为 ${\chi }_{\alpha }^2(n)$，即

$$P\{X\ge {\chi }_{\alpha }^2(n)\}=1-F({\chi }_{\alpha }^2(n))=\alpha$$

性质

当 $n$ 充分大时（$n>45$），有

$${\chi }_{\alpha }^2(n)\approx \frac{1}{2}{(z_{\alpha }+\sqrt{2n-1})}^2$$

后面常用到下面两个式子：

$$P\{{\chi }^2>{\chi }_{\alpha /2}^2(n)\}+P\{{\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)\}=\alpha$$$$P\{{\chi }_{\alpha /2}^2(n)<{\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)\}=1-\alpha$$

student's t分布

设 $T\sim t(n)$，则 $t(n)$ 的上 $\alpha$ 分位数记为 $t_{\alpha }(n)$，即

$$P\{T\ge t_{\alpha }(n)\}=1-F(t_{\alpha }(n))=\alpha$$

性质

当 $n$ 充分大时（$n>45$），有

$$t_{\alpha }(n)\approx z_{\alpha }$$

后面常用到下面两个式子：

$$P\{|T|>t_{\alpha /2}(n)\}=\alpha ,P\{|T|\le t_{\alpha /2}(n)\}=1-\alpha$$

Fisher分布

设 $F\sim F(n,m)$，则 $F(n,m)$ 的上 $\alpha$ 分位数记为 $F_{\alpha }(n,m)$，即

$$P\{F\ge F_{\alpha }(n,m)\}=1-F(F_{\alpha }(n,m))=\alpha$$

性质

后面常用到下面两个式子：

$$P\{F>F_{\alpha /2}(n,m)\}+P\{F<F_{1-\alpha /2}(n,m)\}=\alpha$$$$P\{F_{\alpha /2}(n,m)\le F\le F_{1-\alpha /2}(n,m)\}=1-\alpha$$

对称性：

$$F_{\alpha }(n,m)=\frac{1}{F_{1-\alpha }(m,n)}$$